一様収束メモ

計量経済学の授業で一様収束が出てきたけど、将来的に絶対忘れるのでメモ。

ここで書く例はネット記事とか授業を参考にしつつ自分で考えたので間違ってるかも。

関数の一様収束が重要になる例としてここでは２つ考える。

１．βn=argmin(fn)、β=argmin(f)としたときに、関数列fnがfに収束（各点or一様）する場合、βn→βかどうか？

この場合、関数が一様収束するのが十分条件っぽい（必要かどうか調べてないからわかからない

各点収束するが一様収束しない関数で上記が成り立たない例を考えてみた。

fn = -1 (if x = n), x^2 (otherwise)

f = x^2

こうすると、fnはfに各点収束（xを固定したら、n>xでfn(x)=f(x))、するけど一様収束しない（sup|f-fn|=n^2+1なので収束しない）。

ところで、βn=argmin(fn)=-1、β=argmin(f)=0なので、βnはβに収束しない。

なのでこれは各点収束するけど一様収束せず、βnがβに収束しない例となっている。

２．βn→β、fn→f（各点or一様）のとき、fn(βn)→f(β)かどうか？

関数の連続性みたいな話。一様収束が十分条件であることは、定義を用いつつ三角不等式を使って証明できる。

各点収束するが一様収束しない関数で上記が成り立たない例は以下の通り。

x∈[0,1]

fn = x^n

f = 0 (if x < 1), 1 (if x=1)

fnはfに各点収束（xを固定したら、x<1ならfn=x^n→0=fで収束、x=1ならもとからfn=f)、するけど一様収束しない（sup|f-fn|=1なので収束しない。グラフをイメージするとわかるがxが1よりちょっと手前の部分では常にfn≒1である。いくらnを増やしても、この部分は右に移動しながら残り続ける）。

次に収束列βnを考える。

βn = 1- 1/n

このとき、βn → β=1である。

以上のようなセッティングの元では

fn(βn)=(1- 1/n)^n → e^-1≠f(1)=1

であるので、fn(βn)はf(β)に収束しない。

以上